Matemática 3º Ano EM - Introdução aos números complexos

Roteiro de estudo de 15/06 a 19/06 - 2º Bimestre

Números complexos

Os números complexos constituem a expansão do conjunto dos números reais e foram criados para resolver equações com raiz quadrada de um número negativo.

O conjunto dos números complexos foi criado com o intuito de resolver equações que envolvem raízes de números negativos. Como exemplo, se utilizarmos a fórmula de Bháskara na equação x² – 6x + 10 = 0, teremos:

Δ = b² – 4·a·c

Δ = (– 6)² – 4·1·10

Δ = 36 – 40

Δ = – 4

Como bem sabemos, é impossível que uma equação do segundo grau que tem Δ negativo possua solução real. Entretanto, considerando o conjunto dos números complexos, podemos solucionar essa equação. Na realidade, foi justamente por isso que foi criado esse conjunto. Assim, substituindo os valores do exemplo acima na fórmula de Bháskara, teremos:

x = – b ± √∆
        2a

x = – (– 6) ± √(–4)
         2

x = 6 ± √(–4)

      2

Observe que não é possível encontrar √(– 4) dentro do conjunto dos números reais, pois 2·2 = 4 e (– 2)(– 2) = 4. A sugestão do matemático italiano Rafael Bombelli foi considerar que √(–4) = √(–1·4) = 2√– 1 é uma forma de solucionar essa equação. E, após isso, deve-se trocar √–1 por i. Portanto, as soluções dessa equação seriam:

x’ = 3 + 2i

x’’ = 3 – 2i

Esse tipo de número foi chamado de número complexo.

O que se pode afirmar quanto aos valores da potência de i ?

Agora determine:

1)    O que se pode afirmar quanto aos valores da potência de i ?

2) Agora determine:

a)i^13                                                   

b)i^22                                           

c)i^36

d)i^2015                                               

e)i^1000                                           

f)i^145   

3) Calcule o número complexo:

i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰